Capacità portante: fondazione superficiale

Viene di seguito riportata la formula trinomia della capacità portante completa dei coefficienti correttivi per rimuovere le ipotesi di stato di deformazione piana, carico verticale e centrato, piano di posa e piano campagna orizzontali.

Calcolo

• Script di calcolo ancora provvisorio! Funziona per i dati minimi obbligatori. I dati minimi obbligatori sono quelli evidenziati.
• Non tiene ancora conto del punzonamento e del sisma.

1 \ \frac{kN}{m^2} \equiv 1 \ kPa

0.01 \ \frac{kg}{cm^2} \quad \approxeq \quad 1 \ \frac{kN}{m^2}

1 \ \frac{kg}{cm^2} \quad \approxeq \quad 100 \ \frac{kN}{m^2}

Info calcolo

Il principio di Terzaghi suggerirebbe di riferirsi sempre alle tensioni efficaci, dirette responsabili del comportamento dei terreni. Tuttavia, quando si è in condizioni non drenate (terreni a grana fine saturi, t=0) ciò comporterebbe una valutazione, non semplice, delle Δu. Pertanto, in tal caso tipicamente si preferisce fare riferimento alle tensioni totali ed al mezzo monofase equivalente.

Per un terreno al di sotto della superficie freatica (ammettendo che prima dell’applicazione del carico vi fossero condizioni idrostatiche) si possono seguire le indicazioni in tabella:

Valori indicativi del modulo di Poisson ν per i terreni

Soluzione generale

q_{lim} =q \ N^*_q + c \ N^*_c + \frac{B'}{2} \ \gamma_{lat} \ N^*_\gamma

N^*_q = N_q \ s_q \ d_q \ i_q \ b_q \ g_q

N^*_c = N_c \ s_c \ d_c \ i_c \ b_c \ g_c

N^*_\gamma = N_\gamma \ s_\gamma \ d_\gamma \ i_\gamma \ b_\gamma \ g_\gamma

dove:

• q è il sovraccarico laterale del terreno, pari a D*γ
• Fattori di capacità portante. Coefficienti di Terzaghi – Meyerof per la striscia indefinita
• Coefficienti correttivi di forma, funzione del rapporto B/L
• Coefficienti correttivi di inclinazione del carico, dipendenti da H/V
• ε Coefficienti correttivi di inclinazione del piano di posa
• Coefficienti correttivi di inclinazione del piano campagna
• Coefficienti sismici per considerare l’effetto cinematico, considerati solo in presenza di sisma
• Coefficienti correttivi di punzonamento dipendenti da un indice di rigidezza del terreno.

Fattori di capacità portante

N_c, N_q e N_γ sono chiamati fattori di capacità portante (coefficienti di Terzaghi-Meyerof) e dipendono solo dall’angolo di resistenza a taglio del terreno.

\begin{align*}
N_q &=\frac{1+ \sin \varphi'}{1- \sin  \varphi'} \ e^{\pi \tan \varphi'}
\\
&= \tan^2 \bigg(45°+\frac{\varphi'}{2}\bigg) \ e^{\pi \tan  \varphi'}
\end{align*}

N_c=(N_q-1) \cot \varphi'

Per N_γ non esiste una formulazione rigorosa e corretta, quindi non c’è una soluzione condivisa (come per gli altri due coefficienti). L’Eurocodice 7 suggerisce la seguente (nell’ipotesi di fondazione ruvida):

N_\gamma=2 \ (N_q-1) \tan \varphi'

Altre formulazioni prevedono invece:

NB. Da abbandonare la soluzione di Vesic (1973) perché non cautelativa (comunque riportata a scopo informativo).

Di seguito un grafico con l’andamento dei tre coefficienti correttivi al variare dell’angolo di resistenza a taglio φ

NB. II valore dei fattori di capacità portante cresce molto rapidamente con φ’ (per una stima corretta della capacità portante, la scelta di φ’ è più importante dell’utilizzo di una o l’altra delle equazioni proposte dai vari Autori).

Correzione per carico eccentrico

Procedura semplificata, suggerita nell’ EC7.

Si considera carico centrato in area ridotta (il calcolo viene eseguito con dimensioni della fondazione più piccole di quelle reali)

Eccentricità nelle due direzioni:

e_B=\frac{M_B}{N} \qquad e_L=\frac{M_L}{N}

Dimensioni “effettive” della fondazione:

B'=B-2 \ e_B

L'=L-2 \ e_L

Area corretta:

A'=B' \ L'

Correzioni per la forma

Coefficienti correttivi di forma, in funzione del rapporto B/L (Brich-Hansen). EC7 – Annesso D.

s_q=1+\frac{B'}{L'} \ sin \varphi' \ge1

s_c=\frac{s_q \ N_q-1}{N_q-1} \ge1

s_\gamma=1-0.3 \ \frac{B'}{L'} <1

Correzioni per profondità del piano di posa

L’approfondimento del piano di posa porta sempre a valori di q_lim più alti in quanto si include il contributo della resistenza del terreno nel tratto al di sopra del piano di posa.

L’EC 7 dice di tenerne conto ma non indica le formule.

Per l’utilizzo di questi coefficienti correttivi ci si basata sulla qualità dell’eventuale terreno al di sopra del piano di posa (es. scavo a sezione obbligata, riporto non compattato..)

Una scelta a vantaggio di sicurezza è quella di assumere dq=1, dc = 1, d_γ=1 che equivale a trascurare la resistenza del terreno al di sopra del piano di posa (se c’è andrebbe comunque considerato il sovraccarico laterale γ*D nel calcolo degli altri coefficienti).

In letteratura (Vesic, 1973) troviamo:

• per D<B

d_q=1+2 \ \tan \varphi' \ (1-\sin \ \varphi')^2 \ \frac{D}{B}

• per D≥B

d_q=1+2 \ \tan \varphi' \ (1-\sin \ \varphi')^2 \ \arctan \bigg( \frac{D}{B} \bigg)

Usando queste espressioni c’è però una discontinuità per D/B=1 (Bowles, 1988)

d_c=d_q-\frac{1-d_q}{N_c \ \tan \ \varphi'}

d_\gamma=1

Correzioni per inclinazione del carico

L’Eurocodice 7 propone:

• H_d parallela a B

m \equiv m_B=\frac{ 2+ \frac{B'}{L'} }{ 1+ \frac{B'}{L'} }

• H_d parallela a L

m \equiv m_L=\frac{ 2+ \frac{L'}{B'} }{ 1+ \frac{L'}{B'} }

• H_d inclinata di θ rispetto a L

m \equiv m_\theta=m_L \ cos^2 \theta + m_B \ sin^2 \theta

I tre coefficienti correttivi sono:

i_q= \bigg[ 1- \frac{H_d}{ N_d+A' \ c_d \ \cot \ \varphi_d} \bigg]^m \le1

i_c=i_q-\frac{1- i_q} {N_c \ \tan \ \varphi_d} \le1

i_\gamma= \bigg[ 1- \frac{H_d}{ N_d+A' \ c_d \ \cot \ \varphi_d} \bigg]^{m+1} \le1

Correzioni per inclinazione del piano di posa

Formule come da EC7, con α espresso in radianti

b_q = (1- \alpha \ \tan  \varphi_d)^2

b_c=b_q- \frac{ 1-b_q } { N_c \ \tan \varphi_d }

b_\gamma = b_q

Correzioni per inclinazione del terreno laterale

Come da EC7 – Annesso D, inclinazione del terreno laterale misurata rispetto all’orizzontale.

Coefficiente <1 quando “manca” il terreno laterale (perché ω>0), al contrario coefficiente >1 (in quanto ω<0).

g_q = (1- \tan \omega)^2

g_c=g_q-\frac{1-g_q}{ N_c \ \tan \varphi_d }

g_\gamma= g_q

Correzioni per rottura a punzonamento

In presenza di terreni incoerenti sciolti la mobilitazione dell’intero cinematismo di rottura richiede l’accumulo di spostamenti molto rilevanti, (generalmente riferibili ad un vero e proprio collasso) che viene definito di punzonamento. (Vesic, 1975).

Si definisce allora l’indice di rigidezza del terreno Ir in grado di tener conto della possibilità di verificarsi di tale rottura.

\begin{align*}
I_r &< I_{r,crit}
\\
\frac{G}{\tau_r} &< I_{r,crit}
\\
\frac{G}{c+ \sigma \ tan \phi} &< I_{r,crit}
\end{align*}

dove:

• I_r,crit è l’indice di rigidezza critico

I_{r,crit} =  \frac{1}{2} \exp \left[ \left( 3.3 - 0.45 \frac{B}{L} \right) \cot \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\varphi'}{2} \right) \right]

• G rappresenta il modulo di rigidezza tangenziale del terreno

G=\frac{E}{2 \cdot (1+\nu)}

• σ è la tensione effettiva litostatica alla profondità z=D+B/2
• E è il modulo di Young
• ν è il coefficiente di Poisson

C’è punzonamento solo quando i coefficienti ψ sono ψ<1 ; ciò avviene per I_r<I_r,crit

In presenza di sisma

In aggiunta, i coefficienti proposti da Paolucci e Pecker (1997):

Condizioni non drenate

La formula trinomia si semplifica:

\begin{align*}
q_{lim} &= q \ N_{q,u} +c_u \ N_{c,u} \ (s_{c,0} \ d_{c,0} \ i_{c,0} \ b_{c,0} \ g_{c,0})
\\
&= q +c_u \ 5.14 \ (s_{c,0} \ d_{c,0} \ i_{c,0} \ b_{c,0} \ g_{c,0})

\end{align*}

dove q è sempre il sovraccarico laterale del terreno, pari a D*γ.

Nel caso di condizioni non drenate (comportamento di terreno puramente coesivo):

c=c_u

\varphi=0

Di conseguenza i fattori di capacità portante saranno:

Fattori di capacità portante

N_{q,u}=1

N_{c,u}=5.14

N_{\gamma,u} = 0

Correzione per la forma

Per EC7 – Annesso D

• per forma rettangolare:

s_{c,0}=1+0.2 \ \frac{B'}{L'}

• forma quadrata o circolare:

s_{c,0}=1.2

Correzione per profondità del piano di posa

Per l’approfondimento del piano di posa, EC7 non propone correzioni per la profondità.

In letteratura possiamo però trovare:

d_{c,0}=1+0.4 \ \frac{D}{B}

Correzione per inclinazione del carico

i_{c,0}=0.5 \ \Bigg[1+\sqrt{1-\frac{H}{A' \ c_u}} \Bigg]

Correzione per inclinazione del piano di posa

(α in radianti):

b_{c,0}=1- \frac{2 \ \alpha}{2+\pi}

Link utili

• Database terreni GEOstru

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