Analisi elastica di una piastra rettangolare

Analisi elastica di una piastra rettangolare semplicemente appoggiata sui quattro bordi con carico uniformemente distribuito (soluzione di Navier).

Attualmente è trascurato il peso proprio della piastra, considerarlo eventualmente nel carico $q$.

Notazione

$M_x$ agisce intorno all’asse y (sollecita le fibre parallele ad x); $M_y$ agisce intorno all’asse x.

Simbolo	Descrizione	Unità
a	lato lungo	m
b	lato corto	m
t	spessore	m
q	carico distribuito uniforme	kN/m²
E	modulo elastico	MPa
$\nu$	coefficiente di Poisson	—
$D$	rigidezza cilindrica	kN·m
$w$	freccia (deflessione)	mm
$M_x \ , \ M_y$	momenti flettenti per unità di larghezza	kN·m/m
$M_{xy}$	momento torcente per unità di larghezza	kN·m/m
$M_1 \ , \ M_2$	momenti principali	kN·m/m
$\alpha = a/b$	rapporto di forma	—
$\lambda = b/a$	rapporto di forma	—

Soluzione di Navier (doppia serie di Fourier)

Ipotesi e schema statico

Piastra rettangolare di dimensioni a*b e spessore t, con tutti e quattro i bordi semplicemente appoggiati, soggetta a carico distribuito uniforme q [kN/m²].

La soluzione è la soluzione esatta in campo elastico lineare secondo la teoria di Kirchhoff–Love (piccole deformazioni, spessore sottile).

Rigidezza cilindrica

dove $E$ è il modulo elastico [MPa], $\nu$ il coefficiente di Poisson e $t$ lo spessore [m].
La rigidezza $D$ risulta in [kN·m].

Sviluppo in serie doppia (Navier)

Il carico uniforme q viene espanso in doppia serie di Fourier sui modi (m, n) con indici dispari $m, n = 1, 3, 5, \ldots$:

Si definisce il parametro caratteristico:

Freccia

Valore massimo al centro $(x = a/2 \ ; \ y = b/2)$:

Momenti flettenti

Momento torcente

Il valore massimo di $|M_{xy}|$ si trova agli spigoli (0,0), (a,0), (0,b), (a,b).

Momenti principali

A partire da $M_x$, $M_y$, $M_{xy}$ si calcolano i momenti principali con le formule di trasformazione del tensore dei momenti:

dove:

• $M_1 = M_{\max}$ = momento principale massimo
• $M_2 = M_{\min}$ = momento principale minimo

Convergenza della serie

La serie converge rapidamente per piastre con rapporto di forma $\alpha = a/b \leq 3$. In pratica $N = 5 \div 10$ termini (indici fino a $2 \cdot N-1$) forniscono risultati con errore inferiore all’1% per le grandezze al centro.

Per $\alpha > 3$ la piastra si comporta quasi come una trave e la convergenza della serie è più lenta; si consiglia di aumentare $N$.

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Riferimenti: Appunti di Tecnica delle Costruzioni; Timoshenko & Woinowsky-Krieger — “Theory of Plates and Shells”, McGraw-Hill; EN 1992-1-1; EN 16612.